２次方程式

２次方程式は一般にaｘ²＋ｂｘ＋ｃ＝０の形を取ります。（ただしa≠０）。この方程式の解の個数や性質は、判別式D＝ｂ²－４acの値によって、２次方程式の解の個数や性質が変わります。

判別式D＝ｂ²－４ac＞０の場合：　方程式は２つの異なる実数解を持ちます。

判別式D＝ｂ²－４ac＝０の場合：　方程式は１つの実数解（重解）を持ちます。

判別式D＝ｂ²－４ac＜０の場合：　方程式は実数解は持たず、２つの異なる複素数解を持ちます。

複素数（Complex Numbers）は、実数と虚数の組み合わせで表され、一般にa＋ｂi の形を取ります。ここで

aとbは実数であり、iは虚数単位と呼ばれ、i²＝－１と定義されます。

複素数は多くの分野で非常に重要です。電気工学、量子力学、信号処理、画像処理、データ圧縮など、多くの科学技術において基本的な概念として用いられています。高度な数学においても、複素解析、フーリエ解析、多変数計算などで複素数は中心的な役割を果たします。

実数と２次関数について

実数と二次関数は、高校数学をはじめ多くの数学的な文脈で出てくる基本的な概念です。ここではその主要な関連性についていくつか説明します。

一般的な二次関数は以下のような形で表されます。f(x)=ax²+bx+c

ここで、a,b,cはパラメータであり、これらが実数である場合に特に焦点を当てます。

解の存在:二次関数

f(x)=ax 2+bx+cが与えられたとき、この関数がx軸と交わる（すなわち、f(x)=0となる）点をその二次関数の「解」と呼びます。解は二次方程式ax 2+bx+c=0の解と一致します。この解が実数であるか否かは、判別式

D=b2−4acによって決まります。

グラフの性質

二次関数のグラフは放物線と呼ばれます。この放物線の形状（開き方や位置）もまた、係数a,b,c（これらが実数である場合）によって決まります。

a>0のとき、放物線は上向き。

a<0のとき、放物線は下向き。

頂点

二次関数の放物線が持つ最高点または最低点（これを頂点と呼びます）のx座標は、x=− 2abで与えられ、これもまた実数です。

平行移動と拡大

実数係数を持つ二次関数は、拡大・縮小や平行移動を通じて、別の実数係数を持つ二次関数に変換できます。これは線形変換とも関連しています。

応用

二次関数（特に実数係数のもの）は、物理学、工学、経済学などでよく用いられます。例えば、物体の運動方程式、最適化問題などが該当します。

以上のように、二次関数と実数は密接な関係にあり、この関係性は数学だけでなく、その他の多くの科学分野でも基本的なものとされています。